FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA  [SDCTIE GRACELI]   DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS ,  DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS  GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

A justificativa teórica e experimental para a equação de Schrödinger motiva a descoberta da equação de Schrödinger , a equação que descreve a dinâmica de partículas não relativísticas. A motivação usa fótons , que são partículas relativísticas com dinâmica descrita pelas equações de Maxwell , como análogo para todos os tipos de partículas.

Este artigo está em um nível de pós-graduação. Para uma introdução mais geral ao tópico, consulte Introdução à mecânica quântica .

Ondas eletromagnéticas clássicos [ editar ]

Artigo principal: Equação de onda eletromagnética

Natureza da luz [ editar ]

Artigo principal: Photon

A partícula quântica de luz é chamada fóton . A luz tem uma natureza ondulatória e uma partícula . Em outras palavras, a luz pode parecer feita de fótons (partículas) em alguns experimentos e a luz pode agir como ondas em outros experimentos. A dinâmica das ondas eletromagnéticas clássicas é completamente descrita pelas equações de Maxwell , a descrição clássica da eletrodinâmica . Na ausência de fontes, as equações de Maxwell podem ser escritas como equações de onda nos vetores do campo elétrico e magnético . As equações de Maxwell descrevem, entre outras coisas, as propriedades ondulatórias da luz. Quando a luz "clássica" (coerente ou térmica) é incidente em uma placa fotográfica ou CCD, o número médio de "acertos", "pontos" ou "cliques" por unidade de tempo resultante é aproximadamente proporcional ao quadrado dos campos eletromagnéticos da luz. Por analogia formal , a função de onda de uma partícula material pode ser usada para encontrar a densidade de probabilidade, tomando seu valor absoluto ao quadrado. Ao contrário dos campos eletromagnéticos, as funções de onda da mecânica quântica são complexas. (Geralmente, no caso dos campos EM, notação complexa é usada por conveniência, mas entende-se que, na verdade, os campos são reais. No entanto, as funções de onda são genuinamente complexas.)

As equações de Maxwell eram completamente conhecidas na última parte do século XIX. As equações dinâmicas da luz eram, portanto, bem conhecidas muito antes da descoberta do fóton. Isso não é verdade para outras partículas, como o elétron . A partir da interação da luz com os átomos, supunha-se que os elétrons também tinham uma natureza parecida com uma partícula e uma onda. A mecânica newtoniana , uma descrição do comportamento semelhante a partículas de objetos macroscópicos , não conseguiu descrever objetos muito pequenos, como elétrons. O raciocínio abdutivo foi realizado para obter a dinâmica de objetos maciços (partículas com massa ), como elétrons. A equação da onda eletromagnética, a equação que descreveu a dinâmica da luz foi usada como protótipo para descobrir a equação de Schrödinger , a equação que descreve a dinâmica de ondas e partículas de partículas maciças não relativísticas.

Ondas planas sinusoidal [ editar ]

Artigo principal: Soluções de onda plana sinusoidais da equação de onda eletromagnética

Equação de onda eletromagnética [ editar ]

Artigo principal: Equação de onda eletromagnética

A equação da onda eletromagnética descreve a propagação de ondas eletromagnéticas através de um meio ou no vácuo . A forma homogênea da equação, escrita em termos do campo elétrico E ou do campo magnético B , assume a forma:

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} \ - \ {1 \ over c ^ {2}} {\ parcial ^ {2} \ mathbf {E} \ over \ parcial t ^ {2}} \ \ = \ \ 0}

x

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$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} \ - \ {1 \ over c ^ {2}} {\ parcial ^ {2} \ mathbf {B} \ over \ parcial t ^ {2}} \ \ = \ \ 0}

x

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x

onde c é a velocidade da luz no meio. No vácuo, c = 2,998 × 10 ⁸ metros por segundo, que é a velocidade da luz no espaço livre .

O campo magnético está relacionado ao campo elétrico através da lei de Faraday ( unidades cgs )

$${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {1 \ over c} {\ frac {\ parcial \ mathbf {B}} {\ parcial t}}}.

x

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Solução de onda plana da equação de onda eletromagnética [ editar ]

A solução sinusoidal plana para uma onda eletromagnética que se desloca na direção z é ( unidades cgs e unidades SI )

$${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mid \ mathbf {E} \ mid \ mathrm {Re} \ left \ {| \ zeta \ rangle \ exp \ left [i \ left ( kz- \ omega t \ right) \ right] \ right \} \ equiv \ mid \ mathbf {E} \ mid \ mathrm {Re} \ left \ {| \ phi \ rangle \ right \}}

x

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A radiação eletromagnética pode ser imaginada como uma onda oscilante transversal autopropagável de campos elétricos e magnéticos. Este diagrama mostra uma onda polarizada linearmente propagada da esquerda para a direita.

para o campo elétrico e

$${\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ hat {\ mathbf {z}}} \ times \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}

x

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para o campo magnético, onde k é o número de onda ,

$${\ displaystyle \ omega _ {} ^ {} = ck}

é a frequência angular da onda e$${\ displaystyle c}é a velocidade da luz . Os chapéus nos vetores indicam vetores unitários nas direções x, ye z. Em notação complexa , a quantidade$${\ displaystyle \ mid \ mathbf {E} \ mid}é a amplitude da onda.

Aqui

$${\ displaystyle | \ zeta \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} \ zeta _ {x} \\\ zeta _ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ esquerda (i \ alpha _ {x} \ right) \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {y} \ right) \ fim {pmatrix}}}

x

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é o vetor Jones no plano xy. A notação para esse vetor é a notação de braquete do Dirac , que normalmente é usada em um contexto quântico. A notação quântica é usada aqui em antecipação à interpretação do vetor Jones como um vetor de estado quântico. Os ângulos$${\ displaystyle \ theta, \; \ alpha _ {x}, \; {\ mbox {e}} \; \ alpha _ {y}} são o ângulo que o campo elétrico faz com o eixo x e as duas fases iniciais da onda, respectivamente.

A quantidade

$${\ displaystyle | \ phi \ rangle = \ exp \ left [i \ left (kz- \ omega t \ right) \ right] | \ zeta \ rangle}

x

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é o vetor de estado da onda. Descreve a polarização da onda e a funcionalidade espacial e temporal da onda. Para um feixe de luz de estado coerente tão obscuro que seu número médio de fótons seja muito menor que 1, isso é aproximadamente equivalente ao estado quântico de um único fóton.

Energia, momento e momento angular das ondas eletromagnéticas [ editar ]

Densidade de energia das ondas eletromagnéticas clássicos [ editar ]

Energia de uma onda plana [ editar ]

Artigo principal: Densidade de energia

A energia por unidade de volume nos campos eletromagnéticos clássicos é (unidades cgs)

$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {1} {8 \ pi}} \ left [\ mathbf {E} ^ {2} (\ mathbf {r}, t) + \ mathbf {B} ^ {2} (\ mathbf {r}, t) \ direita]}.

x

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Para uma onda plana, convertendo em notação complexa (e, portanto, dividindo por um fator de 2), isso se torna

$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} {8 \ pi}}}

x

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onde a energia foi calculada sobre um comprimento de onda da onda.

Fração de energia em cada componente [ editar ]

A fração de energia no componente x da onda plana (assumindo polarização linear) é

$${\ displaystyle f_ {x} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta} {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}}} = \ phi _ {x} ^ {*} \ phi _ {x}}

x

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com uma expressão semelhante para o componente y.

A fração em ambos os componentes é

$${\ displaystyle \ phi _ {x} ^ {*} \ phi _ {x} + \ phi _ {y} ^ {*} \ phi _ {y} = \ langle \ phi | \ phi \ rangle = 1}.

x

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Densidade de impulso de ondas electromagnéticas clássicos [ editar ]

A densidade do momento é dada pelo vetor de Poynting

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {P}}} = {1 \ over 4 \ pi c} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r } t).

x

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Para uma onda plana sinusoidal que viaja na direção z, o momento está na direção z e está relacionado à densidade de energia:

$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} c = {\ mathcal {E}} _ {c}}.

x

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A densidade do momento foi calculada sobre um comprimento de onda.

Densidade de momento angular das ondas eletromagnéticas clássicos [ editar ]

A densidade do momento angular é

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {L}}} = \ mathbf {r} \ times {\ boldsymbol {\ mathcal {P}}} = {1 \ mais de 4 \ pi c} \ mathbf {r} \ times \ left [\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) \ right]}.

x

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Para uma onda plana sinusoidal, o momento angular está na direção z e é dado por (passando para notação complexa)

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {{\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} \ over {8 \ pi \ omega}} \ left (\ mid \ langle R | \ phi \ rangle \ mid ^ {2} - \ mid \ langle L | \ phi \ rangle \ mid ^ {2} \ right) = {1 \ over \ omega} {\ mathcal {E}} _ {c} \ left (\ mid \ phi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ phi _ {L} \ mid ^ {2} \ right)}

x

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onde novamente a densidade é calculada sobre um comprimento de onda. Aqui, os vetores unitários polarizados circularmente à direita e à esquerda são definidos como

$${\ displaystyle | R \ rangle \ equiv {1 \ over {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ i \ end {pmatrix}}}

e

$${\ displaystyle | L \ rangle \ equiv {1 \ over {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}.

x

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Operadores unitários e conservação de energia [ editar ]

Uma onda pode ser transformada passando, por exemplo, através de um cristal birrefringente ou através de fendas em uma grade de difração . Podemos definir a transformação do estado do estado no tempo t para o estado no tempo$${\ displaystyle (t + \ tau)} Como

$${\ displaystyle | \ phi (t + \ tau) \ rangle = {\ hat {U}} (\ tau) | \ phi (t) \ rangle}.

x

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Para conservar energia na onda, exigimos

$${\ displaystyle \ langle \ phi (t + \ tau) | \ phi (t + \ tau) \ rangle = \ langle \ phi (t) | {\ hat {U}} ^ {\ punhal} (\ tau) {\ hat {U}} (\ tau) | \ phi (t) \ rangle = \ langle \ phi (t) | \ phi (t) \ rangle = 1}

x

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Onde $${\ displaystyle U ^ {\ punhal}}é o adjunto de U, a transposição conjugada complexa da matriz.

Isso implica que uma transformação que economiza energia deve obedecer

$${\ displaystyle {\ hat {U}} ^ {\ punhal} {\ hat {U}} = I}

x

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onde eu sou o operador de identidade e U é chamado de operador unitário . A propriedade unitária é necessária para garantir a conservação de energia nas transformações do estado.

Operadores hermitianas e conservação de energia [ editar ]

E se $${\ displaystyle \ tau} é uma quantidade real infinitesimal $${\ displaystyle dt}, a transformação unitária fica muito próxima da matriz de identidade (o estado final está muito próximo do estado inicial) e pode ser gravada

$${\ displaystyle {\ hat {U}} \ aproximadamente Ii {\ hat {H}} \ tau}

x

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e o adjunto por

$${\ displaystyle {\ hat {U}} ^ {\ punhal} \ aprox. I + i {\ hat {H}} ^ {\ punhal} \ tau}.

x

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O fator i é introduzido por conveniência. Com esta convenção, será mostrado que a conservação de energia exige que H seja um operador hermitiano e que H esteja relacionado à energia de uma partícula.

A conservação de energia requer

$${\ displaystyle I = {\ hat {U}} ^ {\ punhal} {\ hat {U}} \ approx \ left (I + i {\ hat {H}} ^ {\ punhal} \ tau \ right) \ esquerda (Ii {\ hat {H}} \ tau \ right) \ aprox I + i {\ hat {H}} ^ {\ punhal} \ tau -i {\ hat {H}} \ tau + {\ hat { H}} ^ {\ punhal} {\ hat {H}} \ tau ^ {2}}.

x

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Desde a $${\ displaystyle \ tau} é infinitesimal, o que significa que $${\ displaystyle \ tau ^ {2}} pode ser negligenciada em relação a $${\ displaystyle \ tau}, o último termo pode ser omitido. Além disso, se H for igual ao seu adjunto:

$${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} ^ {\ punhal}},

segue-se que (para traduções infinitesimais no tempo $${\ displaystyle \ tau = dt \,})

$${\ displaystyle {\ hat {U}} ^ {\ punhal} {\ hat {U}} = I},

de modo que, de fato, a energia é conservada.

Os operadores que são iguais aos seus adjuntos são chamados hermitianos ou auto-adjuntos.

A tradução infinitesimal do estado de polarização é

$${\ displaystyle | \ phi (t + dt) \ rangle - | \ phi (t) \ rangle = -i {\ hat {H}} dt | \ phi (t) \ rangle}.

x

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Assim, a conservação de energia requer que transformações infinitesimais de um estado de polarização ocorram através da ação de um operador hermitiano. Embora essa derivação seja clássica, o conceito de operador hermitiano que gera transformações infinitesimais de economia de energia constitui uma base importante para a mecânica quântica. A derivação da equação de Schrödinger segue diretamente desse conceito.

Analogia quântica da eletrodinâmica clássica [ editar ]

Artigo principal: Photon

O tratamento até este ponto tem sido clássico . No entanto, o tratamento mecânico quântico de partículas segue linhas formalmente análogas , no entanto, às equações de Maxwell para eletrodinâmica. O análogo dos "vetores de estado" clássicos

$${\ displaystyle \ mid \ phi \ rangle}

na descrição clássica há vetores de estado quântico na descrição de fótons.

Energia, momento e momento angular de fótons [ editar ]

Energia [ editar ]

A interpretação inicial é baseada nos experimentos de Max Planck e na interpretação desses experimentos de Albert Einstein , segundo a qual a radiação eletromagnética é composta por pacotes irredutíveis de energia, conhecidos como fótons . A energia de cada pacote está relacionada à frequência angular da onda pela relação

$${\ displaystyle \ epsilon = \ hbar \ omega}

x

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Onde $${\ displaystyle \ hbar}é uma quantidade determinada experimentalmente conhecida como constante de Planck reduzida . Se houver$${\ displaystyle N} fótons em uma caixa de volume $${\ displaystyle V}, a energia (negligenciando a energia do ponto zero ) no campo eletromagnético é

$${\ displaystyle N \ hbar \ omega}

e a densidade de energia é

$${\ displaystyle {N \ hbar \ omega \ sobre V}}

x

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A energia de um fóton pode ser relacionada aos campos clássicos através do princípio da correspondência que afirma que, para um grande número de fótons, os tratamentos quântico e clássico devem concordar. Assim, para grandes$${\ displaystyle N}, a densidade de energia quântica deve ser a mesma que a densidade de energia clássica

$${\ displaystyle {N \ hbar \ omega \ over V} = {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} {8 \ pi}} }.

x

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O número médio de fótons na caixa em um estado coerente é então

$${\ displaystyle N = {\ frac {V} {8 \ pi \ hbar \ omega}} \ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}}.

x

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Momento [ editar ]

O princípio da correspondência também determina o momento e o momento angular do fóton. Para impulso

$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {c} = {N \ hbar \ omega \ over cV} = {N \ hbar k \ sobre V}}

x

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o que implica que o momento de um fóton é

$${\ displaystyle \ hbar k} (ou equivalente $${\ displaystyle h \ over \ lambda})

x

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Momento angular e rotação [ editar ]

Da mesma forma para o momento angular

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ over \ omega} {\ mathcal {E}} _ {c} \ left (\ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2} \ right) = {\ hbar \ over V} \ left (\ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2} \ right)}

x

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o que implica que o momento angular do fóton é

$${\ displaystyle l_ {z} = \ hbar \ left (\ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2} \ right)}.

x

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a interpretação quântica dessa expressão é que o fóton tem uma probabilidade de $${\ displaystyle \ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2}} de ter um momento angular de $${\ displaystyle \ hbar} e uma probabilidade de $${\ displaystyle \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2}} de ter um momento angular de $${\ displaystyle - \ hbar}. Podemos, portanto, pensar no momento angular do fóton sendo quantizado e também na energia. De fato, isso foi verificado experimentalmente. Observou-se apenas fótons com momento angular de$${\ displaystyle \ pm \ hbar}.

Operador de spin [ editar ]

A rotação do fóton é definida como o coeficiente de$${\ displaystyle \ hbar}no cálculo do momento angular. Um fóton possui o spin 1 se estiver no$${\ displaystyle | R \ rangle} estado e -1 se estiver no $${\ displaystyle | L \ rangle}Estado. O operador de rotação é definido como o produto externo

{\ displaystyle {\ hat {S}} \ equiv | R \ rangle \ langle R | - | L \ rangle \ langle L | = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}.

x

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Os autovetores do operador de rotação são$${\ displaystyle | R \ rangle} e $${\ displaystyle | L \ rangle}com autovalores 1 e -1, respectivamente.

O valor esperado de uma medição de rotação em um fóton é então

$${\ displaystyle \ langle \ psi | {\ hat {S}} | \ psi \ rangle = \ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2} }.

x

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Um operador S foi associado a uma quantidade observável, o momento angular. Os valores próprios do operador são os valores observáveis ​​permitidos. Isso foi demonstrado para o momento angular, mas geralmente é verdade para qualquer quantidade observável.

Probabilidade de um único fóton [ editar ]

Existem duas maneiras pelas quais a probabilidade pode ser aplicada ao comportamento dos fótons; a probabilidade pode ser usada para calcular o número provável de fótons em um estado particular, ou a probabilidade pode ser usada para calcular a probabilidade de um único fóton estar em um estado particular. A primeira interpretação é aplicável à luz térmica ou coerente (consulte Quantum optics ). A última interpretação é a opção para um estado Fock de um único fóton . Dirac explica isso ^{[Nota 1]} no contexto do experimento de fenda dupla :

Algum tempo antes da descoberta da mecânica quântica, as pessoas perceberam que a conexão entre ondas de luz e fótons deve ser de caráter estatístico. O que eles não perceberam claramente, porém, foi que a "função de onda" fornece informações sobre a probabilidade de umfóton estar em um local específico e não o número provável de fótons naquele local. A importância da distinção pode ser esclarecida da seguinte maneira. Suponha que tenhamos um feixe de luz que consiste em um grande número de fótons divididos em dois componentes de igual intensidade. Partindo do pressuposto de que o feixe está conectado com o número provável de fótons, devemos ter metade do número total entrando em cada componente. Se os dois componentes agora são feitos para interferir, devemos exigir que um fóton em um componente seja capaz de interferir um no outro. Às vezes, esses dois fótons teriam que se aniquilar e outras vezes teriam que produzir quatro fótons. Isso contradiz a conservação de energia. A nova teoria, que conecta a função de onda com probabilidades de um fóton supera a dificuldade, fazendo com que cada fóton entre parcialmente em cada um dos dois componentes. Cada fóton interfere apenas consigo mesmo. A interferência entre dois fótons diferentes nunca ocorre.

-  Paul Dirac, Os princípios da mecânica quântica , quarta edição, capítulo 1

Amplitudes de probabilidade [ editar ]

A probabilidade de um fóton estar em um estado de polarização específico depende da distribuição de probabilidade sobre os campos, calculada pelas equações clássicas de Maxwell (na representação P de Glauber-Sudarshan de um estado Fock de um fóton ). o número de fótons em um estado coerente em uma região limitada do espaço é quadrático nos campos. Na mecânica quântica, por analogia, o estado ou amplitude de probabilidade de uma única partícula contém as informações básicas de probabilidade. Em geral, as regras para combinar amplitudes de probabilidade se parecem muito com as regras clássicas para composição de probabilidades: (A citação a seguir é de Baym, capítulo 1)

1. A amplitude de probabilidade para duas probabilidades sucessivas é o produto de amplitudes para as possibilidades individuais. ...
2. A amplitude de um processo que pode ocorrer de uma de várias maneiras indistinguíveis é a soma das amplitudes de cada uma das maneiras individuais. ...
3. A probabilidade total do processo ocorrer é o valor absoluto ao quadrado da amplitude total calculada por 1 e 2.

ondas de Broglie [ editar ]

hipótese de de Broglie [ editar ]Em 1923, Louis de Broglie abordou a questão de saber se todas as partículas podem ter uma onda e uma natureza semelhante ao fóton. Os fótons diferem de muitas outras partículas porque não têm massa e viajam à velocidade da luz. Especificamente, de Broglie fez a pergunta sobre se uma partícula que possui uma onda e uma partícula associada a ela é consistente com as duas grandes contribuições de Einstein de 1905, a teoria especial da relatividade e a quantização de energia e momento. A resposta acabou sendo positiva. A natureza das ondas e das partículas dos elétrons foi observada experimentalmente em 1927, dois anos após a descoberta da equação de Schrödinger.

Artigo principal: Onda da matéria

De Broglie supôs que cada partícula estivesse associada a uma partícula e a uma onda. A frequência angular$${\ displaystyle \ omega} e número de onda $${\ displaystyle k} da onda estava relacionada à energia E e momento p da partícula por

$${\ displaystyle E = \ hbar \ omega}

e

x

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$${\ displaystyle p = \ hbar k}.

x

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A questão se reduz a se todo observador, em todo referencial inercial, pode concordar com a fase da onda. Nesse caso, uma descrição de partículas em forma de onda pode ser consistente com a relatividade especial.

Quadro de descanso [ editar ]

Primeiro, considere a estrutura restante da partícula. Nesse caso, a frequência e o número de onda da onda estão relacionados à energia e momento das propriedades das partículas por

$${\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2} = \ hbar \ omega _ {0}}

x

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e

$${\ displaystyle p_ {0} = 0 = \ hbar k_ {0}}

onde m é a massa restante da partícula.

Isso descreve uma onda de comprimento de onda infinito e velocidade de fase infinita

$${\ displaystyle v _ {\ phi} = {\ omega _ {0} \ sobre k_ {0}}}.

x

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A onda pode ser escrita como proporcional à

$${\ displaystyle \ cos (\ omega _ {0} ^ {} t)}.

Essa, no entanto, também é a solução para um oscilador harmônico simples , que pode ser pensado como um relógio no restante do quadro da partícula. Podemos imaginar um relógio correndo na mesma frequência que a onda está oscilando. As fases da onda e o relógio podem ser sincronizadas.

Quadro do observador [ editar ]

É mostrado que a fase da onda em um quadro observador é a mesma que a fase da onda em um quadro de partículas e também a mesma que os relógios nos dois quadros. Existe, portanto, consistência de uma imagem semelhante a uma onda e a uma partícula em uma relatividade especial.

Fase do relógio observador [ editar ]

No quadro de um observador movendo-se a uma velocidade relativa v em relação à partícula, observa-se que o relógio da partícula bate na freqüência

$${\ displaystyle \ omega _ {c} = {\ omega _ {0} \ over \ gama}}

x

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Onde

$${\ displaystyle \ gamma = {1 \ over {\ sqrt {1- {v ^ {2} \ over c ^ {2}}}}}}}

x

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é um fator de Lorentz que descreve a dilatação do tempo do relógio de partículas conforme observado pelo observador.

A fase do relógio do observador é

$${\ displaystyle \ omega _ {c} t = {\ omega _ {0} \ over \ gama} (\ gamma t_ {0}) = \ omega _ {0} t_ {0}}

x

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Onde $${\ displaystyle t_ {0}}é o tempo medido no quadro de partículas. Tanto o relógio do observador quanto o relógio de partículas concordam com a fase.

Fase da onda de observadores [ editar ]

A frequência e o número de onda da onda no quadro do observador são dados por

$${\ displaystyle E = \ gama m_ {o} c ^ {2} = \ hbar \ omega = \ gama \ hbar \ omega _ {o}}

x

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e

$${\ displaystyle {\ vec {p}} = \ gama m_ {o} {\ vec {v}} = \ hbar {\ vec {k}} = {\ frac {\ gama \ hbar \ omega _ {o} { \ vec {v}}} {c ^ {2}}}}

x

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com uma velocidade de fase

$${\ displaystyle v _ {\ phi} = {\ omega \ over k} = {E \ over p} = {c ^ {2} \ over v}}.

x

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A fase da onda no quadro do observador é

$${\ displaystyle \ omega t-kx = \ omega t - {\ omega \ over v _ {\ phi}} vt = \ omega t \ left (1- {v ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right ) = {\ omega t \ over \ gama ^ {2}} = {1 \ over \ gama ^ {2}} {\ gama m_ {o} c ^ {2} \ over \ hbar} (\ gamma t_ {o }) = \ omega _ {o} t_ {o} = \ omega _ {c} t}.

x

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A fase da onda no quadro de observação é a mesma que a fase no quadro de partículas, como o relógio no quadro de partículas e o relógio no quadro de observadores. Uma imagem ondulatória de partículas é, portanto, consistente com uma relatividade especial.

De fato, agora sabemos que essas relações podem ser escritas de forma sucinta usando notação relativística especial de 4 vetores :

Os quatro vetores relevantes são:

Quatro posições $${\ displaystyle \ mathbf {X} = (ct, {\ vec {x}})}

Quatro velocidades $${\ displaystyle \ mathbf {U} = \ gama (c, {\ vec {u}})}

Quatro momentos $${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right)}

Vetor de quatro ondas $${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ frac {\ omega} {v _ {\ phi}}} {\ hat {n}} \ right)}

x

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As relações entre os quatro vetores são as seguintes:

$${\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {d \ mathbf {X}} {d \ tau}}}

$${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ hbar \ mathbf {K} = m_ {o} \ mathbf {U}}

$${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {m_ {o}} {\ hbar}} \ right) \ mathbf {U} = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} { c ^ {2}}} \ right) \ mathbf {U}}

A fase da onda é a invariante relativística:

$${\ displaystyle \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {X} = \ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} = \ omega _ {o} t_ {o} = \ omega _ {o} \ tau}

x

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Átomo de Bohr [ editar ]

Artigo principal: Átomo de Bohr

A hipótese de De Broglie ajudou a resolver questões pendentes na física atômica. A física clássica foi incapaz de explicar o comportamento observado dos elétrons nos átomos. Especificamente, elétrons aceleradores emitem radiação eletromagnética de acordo com a fórmula de Larmor . Os elétrons que orbitam um núcleo devem perder energia para a radiação e eventualmente espiralar para dentro do núcleo. Isso não é observado. Os átomos são estáveis ​​em escalas de tempo muito mais longas do que o previsto pela fórmula clássica de Larmor.Inconsistência de observação com a física clássica [ editar ]

Além disso, observou-se que os átomos excitados emitem radiação com frequências discretas. Einstein usou esse fato para interpretar pacotes de energia discretos de luz como, de fato, partículas reais. Se essas partículas reais são emitidas dos átomos em pacotes de energia discretos, no entanto, os emissores, os elétrons, também devem mudar a energia em pacotes de energia discretos? Não há nada na mecânica newtoniana que explique isso.

A hipótese de De Broglie ajudou a explicar esses fenômenos, observando que os únicos estados permitidos para um elétron orbitando um átomo são aqueles que permitem ondas estacionárias associadas a cada elétron.

Série de Balmer [ editar ]

Artigo principal: Série Balmer

A série Balmer identifica as frequências de luz que podem ser emitidas a partir de um átomo de hidrogênio excitado:

$${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {n} = R \ left ({\ frac {1} {2 ^ {2}}} - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right) \ quad n = 3,4,5, ...}

x

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onde R é conhecida como constante de Rydberg e é igual a 13,6 elétron-volts .

Pressupostos do modelo de Bohr [ editar ]

O modelo de Bohr, introduzido em 1913, foi uma tentativa de fornecer uma base teórica para a série Balmer. As suposições do modelo são:

1. Os elétrons em órbita existiam em órbitas circulares que tinham energias quantizadas discretas . Ou seja, nem toda órbita é possível, mas apenas determinadas.
2. As leis da mecânica clássica não se aplicam quando os elétrons saltam de uma órbita permitida para outra.
3. Quando um elétron salta de uma órbita para outra, a diferença de energia é levada (ou fornecida) por um único quantum de luz (chamado fóton ), que possui uma energia igual à diferença de energia entre os dois orbitais.
4. As órbitas permitidas dependem de valores quantificados (discretos) do momento angular orbital , L de acordo com a equação
   $${\ displaystyle {L} = n \ hbar}
   Onde n = 1,2,3,… e é chamado o número quântico principal .

Implicações do modelo de Bohr [ editar ]

Numa órbita circular, a força centrífuga equilibra a força atrativa do elétron

$${\ displaystyle {mv ^ {2} \ over r} = {{e_ {M}} ^ {2} \ over r ^ {2}}}

x

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onde m é a massa do elétron, v é a velocidade do elétron, r é o raio da órbita e

$${\ displaystyle {e_ {M}} = {e \ over {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}}

x

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onde e é a carga no elétron ou próton.

A energia do elétron em órbita é

$${\ displaystyle E = {1 \ over 2} mv ^ {2} - {{e_ {M}} ^ {2} \ over r} = - {1 \ over 2} {{e_ {M}} ^ {2 } \ over r}}

x

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que se segue da expressão da força centrífuga.

A suposição de momento angular do modelo de Bohr implica

$${\ displaystyle L = mvr = n \ hbar}

x

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o que implica que, quando combinado com a equação da força centrífuga, o raio da órbita é dado por

$${\ displaystyle r = {n ^ {2} \ hbar ^ {2} \ over m {e_ {M}} ^ {2}}}.

x

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Isso implica, a partir da equação da energia,

$${\ displaystyle E_ {n} = - {1 \ over 2} {{e_ {M}} ^ {2} \ over r} = - {1 \ over 2} \ left ({m {e_ {M}} ^ {4} \ over \ hbar ^ {2}} \ right) {1 \ over n ^ {2}}}.

x

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A diferença entre os níveis de energia recupera a série Balmer.

A contribuição de De Broglie ao modelo de Bohr [ editar ]

As premissas de Bohr recuperam a série Balmer observada. As próprias suposições de Bohr, no entanto, não se baseiam em nenhuma teoria mais geral. Por que, por exemplo, as órbitas permitidas dependem do momento angular? A hipótese de De Broglie fornece algumas dicas.

Se assumirmos que o elétron tem um momento dado por

$${\ displaystyle p = mv = \ hbar k}

x

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postulado pela hipótese de Broglie, o momento angular é dado por

$${\ displaystyle L = mvr = \ hbar kr = \ hbar \ left ({2 \ pi \ over \ lambda} \ right) r}

x

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Onde $${\ displaystyle \ lambda} é o comprimento de onda da onda de elétrons.

Se apenas ondas elétricas permanentes são permitidas no átomo, somente órbitas com perímetros iguais ao número integral de comprimentos de onda são permitidas:

$${\ displaystyle \ lambda = {2 \ pi r \ over n}}.

x

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Isso implica que as órbitas permitidas têm momento angular

$${\ displaystyle L = n \ hbar}

x

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qual é a quarta suposição de Bohr.

As premissas um e dois seguem imediatamente. A suposição três segue da conservação de energia, que De Broglie mostrou ser consistente com a interpretação das partículas pelas ondas.

Necessidade de equações dinâmicas [ editar ]

O problema com a hipótese de De Broglie, aplicada ao átomo de Bohr, é que forçamos uma solução de onda plana válida no espaço vazio para uma situação em que existe um forte potencial atrativo. Ainda não descobrimos a equação dinâmica geral para a evolução das ondas de elétrons. A equação de Schrödinger é a generalização imediata da hipótese de De Broglie e a dinâmica do fóton.

Equação de Schrödinger [ editar ]

Artigo principal: equação de Schrödinger

Analogia com a dinâmica de fótons [ editar ]

A dinâmica de um fóton é dada por

$${\ displaystyle | \ phi (t + dt) \ rangle - | \ phi (t) \ rangle = -i {\ hat {H}} dt | \ phi (t) \ rangle}

x

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onde H é um operador hermitiano determinado pelas equações de Maxwell. A hermiticidade do operador garante que a energia seja conservada.

Erwin Schrödinger assumiu que a dinâmica para partículas massivas era da mesma forma que a dinâmica do fóton que economiza energia.

$${\ displaystyle | \ psi (t + dt) \ rangle - | \ psi (t) \ rangle = -i {\ hat {H}} dt | \ psi (t) \ rangle}

x

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Onde $${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle} é o vetor de estado da partícula e H é agora um operador hermitiano desconhecido a ser determinado.

Vetor de estado de partículas [ editar ]

Em vez de estados de polarização, como no caso dos fótons, Schrödinger assumiu que o estado do vetor dependia da posição da partícula. Se uma partícula vive em uma dimensão espacial, ele divide a linha em um número infinito de pequenos compartimentos de comprimento$${\ displaystyle \ lambda} e atribuiu um componente do vetor de estado a cada compartimento

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} \ vdots \\\ psi _ {j-1} (t) \\\ psi _ {j} (t) \\\ psi _ {j + 1} (t) \\\ vdots \ end {pmatrix}}}.

O subscrito j identifica o compartimento.

Forma matricial e em transição amplitudes [ editar ]

A equação de transição pode ser escrita em forma de matriz como

$${\ displaystyle \ psi _ {j} (t + dt) ^ {} - \ psi _ {j} (t) = - i \ sum _ {k} ^ {} H_ {jk} \, dt \, \ psi _ {k} (t)}.

x

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A condição hermitiana requer

$${\ displaystyle H_ {jk} = H_ {kj} ^ {*}}.

x

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Schrödinger assumiu que a probabilidade só poderia vazar para os compartimentos adjacentes durante o pequeno passo dt. Em outras palavras, todos os componentes de H são zero, exceto as transições entre os compartimentos vizinhos

$${\ displaystyle H_ {j \ pm 1, j} ^ {} \ neq 0},

$${\ displaystyle H_ {j, j} ^ {} \ neq 0}.

Além disso, supõe-se que o espaço seja uniforme, pois todas as transições para a direita são iguais

$${\ displaystyle H_ {j + 1, j} ^ {} = H_ {j, j-1} ^ {} \ equivalente H_ {R}}.

O mesmo vale para transições para a esquerda

$${\ displaystyle H_ {j-1, j} ^ {} = H_ {j, j + 1} ^ {} \ equivalente H_ {L}}.

A equação de transição torna-se

$${\ displaystyle i {\ parcial \ psi _ {j} (t) \ over \ parcial t} = H_ {L} \ psi _ {j + 1} (t) -H_ {R} \ psi _ {j} ( t) + H_ {R} \ psi _ {j-1} (t) -H_ {L} \ psi _ {j} (t) + H_ {jj} \ psi _ {j} (t)}.

x

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O primeiro termo do lado direito representa o movimento da amplitude de probabilidade no compartimento j da direita. O segundo termo representa vazamento de probabilidade do compartimento j para a direita. O terceiro termo representa vazamento de probabilidade no compartimento j da esquerda. O quarto termo representa vazamento do compartimento j para a esquerda. O termo final representa qualquer mudança de fase na amplitude de probabilidade no compartimento j.

Se expandirmos a amplitude de probabilidade para segunda ordem no tamanho da lixeira $${\ displaystyle \ lambda} e assumir que o espaço é isotrópico, $${\ displaystyle H_ {R} = H_ {L} \ equiv H_ {0}} a equação de transição se reduz a

$${\ displaystyle i {\ parcial \ psi _ {j} (t) \ over \ parcial t} = H_ {0} {\ lambda ^ {2}} {\ parcial ^ {2} \ psi _ {j} (t ) \ over \ parcial x ^ {2}} + H_ {jj} \ psi _ {j} (t)}.

x

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Equação de Schrödinger em uma dimensão [ editar ]

Densidades de probabilidade para o elétron em diferentes números quânticos no átomo de hidrogênio.

A equação de transição deve ser consistente com a hipótese de De Broglie. No espaço livre, a amplitude de probabilidade para a onda de Broglie é proporcional à

$${\ displaystyle \ exp \ left [i \ left (kx- \ omega t \ right) \ right]}

Onde

$${\ displaystyle E = \ hbar \ omega = {p ^ {2} \ over 2m} = {\ hbar ^ {2} k ^ {2} \ over 2m}}

x

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no limite não relativístico.

A solução de Broglie para espaço livre é uma solução da equação de transição, se exigirmos

$${\ displaystyle H_ {0} \ lambda ^ {2} = - {\ hbar \ acima de 2m}}

x

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e

$${\ displaystyle H_ {jj} ^ {} = 0 ^ {}}.

O termo derivado do tempo na equação de transição pode ser identificado com a energia da onda de De Broglie. O termo derivado espacial pode ser identificado com a energia cinética. Isso sugere que o termo que contém$${\ displaystyle H_ {jj}}é proporcional à energia potencial. Isso produz a equação de Schrödinger

$${\ displaystyle i \ hbar {\ parcial \ psi (x, t) \ sobre \ parcial t} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi (x, t)} {\ parcial x ^ {2}}} + U (x) \ psi (x, t)}

x

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onde U é a energia potencial clássica e

$${\ displaystyle \ psi (x, t) \ equiv {1 \ over {\ sqrt {\ lambda}}} \ psi _ {j} (t)}

x

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e

$${\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {*} (x, t) \ psi (x, t) dx}.

Equação de Schrödinger em três dimensões [ editar ]

Em três dimensões, a equação de Schrödinger se torna

$${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ nabla ^ {2} \ psi} + U \ psi = i \ hbar {\ parcial \ sobre \ parcial t} \ psi}

x

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Átomo de hidrogénio [ editar ]

A solução para o átomo de hidrogênio descreve ondas estacionárias de energia fornecidas exatamente pela série Balmer. Essa foi uma validação espetacular da equação de Schrödinger e do comportamento ondulatório da matéria.